最近突然想起来十几年前发现的一个数字规律，如果有很多数字，每个数字反复相加，直到个位数，那么结果大概率是奇数。比如 123456789，和为 45,4+5=9，结果为奇数。
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其实结果也不难想，个位数字一共就 10 个（0~9），其中 0 无法被相加得到，所以在剩下的数字里，奇数有 5 个（13579），偶数只有 4 个（2468），那么最后得到奇数的概率就是 5/9≈55.56%。
chatGPT 的解释
各位数字之和为什么不改变一个数模 9 的余数？
设一个十进制正整数为
$$ N=a_0+a_1\times10+a_2\times10^2+\cdots+a_n\times10^n $$
其中
$$ a_i\in{0,1,2,\ldots,9}. $$
由于
$$ 10\equiv1\pmod 9, $$
因此对于任意非负整数 $k$，都有
$$ 10^k\equiv1^k\equiv1\pmod 9. $$
于是：
$$
\begin{aligned}
N
&=a_0+a_1\times10+a_2\times10^2+\cdots+a_n\times10^n\
&\equiv a_0+a_1+a_2+\cdots+a_n\pmod9.
\end{aligned}
$$
而
$$
S=a_0+a_1+\cdots+a_n
$$
正是 $N$ 的各位数字之和，因此：
$$
\boxed{N\equiv S\pmod9}
$$
也就是说，一个数与它的各位数字之和，除以 9 所得到的余数相同。
为什么可以不断进行各位数字求和？
设第一次求和得到
$$S_1=\sum_{i=0}^{n}a_i.$$
再次对 $S_1$ 的各位数字求和，得到 $S_2$。
根据同样的证明：
$$S_1\equiv S_2\pmod9.$$
而前面已经得到：
$$N\equiv S_1\pmod9.$$
因此：
$$N\equiv S_1\equiv S_2\pmod9.$$
不断重复这一过程，可以得到：
$$\boxed{N\equiv S_1\equiv S_2\equiv\cdots\equiv d\pmod9}$$
其中 $d$ 是最终得到的个位数，即所谓的数字根（Digital Root）。
因此，一个数不断进行各位数字求和，直到只剩下一位数时，最终结果与原数模 9 同余。
数字根公式
因此，对于任意正整数 $N$，其数字根可以直接表示为：
$$
\boxed{
\operatorname{dr}(N)=
\begin{cases}
9,&N\equiv0\pmod9,\
N\bmod9,&N\not\equiv0\pmod9.
\end{cases}}
$$
换一种写法：
$$
\boxed{
\operatorname{dr}(N)=1+((N-1)\bmod9)
}
$$
例：$123456789$
考虑：
$$N=123456789$$
根据上述结论：
$$
\begin{aligned}
N
&\equiv1+2+3+4+5+6+7+8+9\pmod9\
&=45\pmod9\
&\equiv0\pmod9.
\end{aligned}
$$
因此：
$$
123456789
$$
是 9 的倍数。
如果按照实际的数字求和过程：
$$
123456789
\rightarrow45
\rightarrow9
$$
最终得到：
$$
\boxed{9}
$$
这正是数字根的结果。
这个规律的本质
上述规律并不是巧合，其根源在于十进制中的：
$$
10-1=9.
$$
因此：
$$
10\equiv1\pmod9.
$$
进一步地：
$$
10^k\equiv1\pmod9.
$$
所以，一个十进制数
$$
N=a_n10^n+\cdots+a_2 10^2+a_1 10+a_0
$$
在模 9 的意义下，可以直接把每一个 $10^k$ 替换成 $1$：
$$
N\equiv a_n+\cdots+a_2+a_1+a_0\pmod9.
$$
这就是十进制各位数字之和判定 9 的倍数这一规律背后的数学原理。
更一般地，对于任意进制 $b$，都有：
$$
b\equiv1\pmod{b-1},
$$
因此在 $b$ 进制下，一个数与其各位数字之和模 $(b-1)$ 同余。
例如十六进制中：
$$
16\equiv1\pmod{15},
$$
因此十六进制也存在完全类似的 “各位数字求和” 规律，只不过对应的模数从 $9$ 变成了 $15$。
$$
